Контрольная Теория игр, 4 задачи, номер: 172957

"Теория игр
Задача 1. Две компании, занимающиеся производством антивирусного программного обеспечения, практически полностью делят рынок некоторого региона. Разрабатывая новую версию программного продукта для мобильных телефонов, каждая из компаний может использовать один из четырех вариантов продвижения нового программного продукта на рынок, который влияет на конечную стоимость продукции. В зависимости от сделанного выбора компании могут установить цену реализации единицы продукции на уровне 25, 22, 19 и 16 условных единиц соответственно.
Соотношение цен реализации и себестоимость представлены в таблице:
Вариант продвижения нового продукта Цена реализации единицы продукции,у.е. Полная себестоимость единицы продукции, у.е.
Компания А Компания В
1 25 17 21-0,1*49=16,1
2 22 15 10+0,1*49=14,9
3 19 10+0,1*49=14,9 10
4 16 5+0,1*49=9,9 5
В результате маркетингового исследования рынка была определена функция спроса на программные продукты:
Y=20-0,5*Х
где Y – количество продукции, которое будет реализовано в регионе (тыс. ед.), а X –средняя цена продукции компаний, у.е.
Значения долей продукции, реализованной компанией А, зависят от соотношения цен на продукцию компании А и компании В. Маркетинговое исследование позволило установить эту зависимость:
Цена реализации 1 ед. продукции, у.е. Доля реализованной продукции компании А
Компания А Компания В
25 25 0,31
25 22 0,33
25 19 0,25
25 16 0,2
22 25 0,4
22 22 0,35
22 19 0,32
22 16 0,28
19 25 0,52
19 22 0,48
19 19 0,4
19 16 0,35
16 25 0,6
16 22 0,58
16 19 0,55
16 16 0,5

1. Существует ли в данной задаче ситуация равновесия при выборе варианта продвижения продукта на рынок обоими компаниями?
2. Существуют ли варианты, которые компании заведомо не будут выбирать вследствие невыгодности?
3. Сколько продукции будет реализовано в ситуации равновесия? Какая компания получит больше прибыль в ситуации равновесия? Какая компания будет иметь большую долю рынка в ситуации равновесия? Дайте краткую экономическую интерпретацию результатов решения задачи.

Задача 2. Две отрасли могут осуществлять капитальные вложения в 3 объекта. Стратегии отраслей: i-я стратегия состоит в финансировании i-го объекта (i = 1, 2, 3). Учитывая особенности вкладов и местные условия, прибыли первой отрасли выражаются матрицей 3х3. Величина прибыли первой отрасли считается такой же величиной убытка для второй отрасли - представленная игра может рассматриваться как игра двух игроков с нулевой суммой. Решить приближенно матричную игру методом Брауна-Робинсон (выполнить 10 итераций):
0 -4 -1
1 3 -4
-3 3 -2
Задача 3. Сельскохозяйственное предприятие планирует посадить некоторую сельскохозяйственную культуру двух сортов. Посевная площадь 1000 га. Сорта отличаются друг от друга требованиями к влаге во время вегетационного периода. Проанализировав погодные условия, выделены 4 состояния погоды (S1, S2, S3, S4), отличающиеся режимом осадков и найдены статистические вероятности каждого состояния: p1=0.1; p2=0.3; p3=0.4; p4=0.2. Средняя урожайность (ц/га) каждого сорта на всем участке для каждой состояния погоды приведена в таблице:
S1 S2 S3 S4
Сорт 1 23+49=72 29+49=78 31+49=80 37+49=86
Сорт 2 36+49=85 33+49=82 28+49=77 24+49=73

Возможные варианты посева:
А1) сорт 1 посадить на 75% площади, сорт 2 посадить на 25% площади;
А2) сорт 1 посадить на 50% площади, сорт 2 посадить на 50% площади;
А3) сорт 1 посадить на 25% площади, сорт 2 посадить на 75% площади;
Определить оптимальную стратегию с помощью критериев максимального математического ожидания, недостаточного основания Лапласа, максиминного критерия Вальда, пессимизма-оптимизма Гурвица (коэффициент пессимизма взять равным 0,4), критерия Ходжа-Лемана (коэффициент достоверности информации о состояниях погоды принять равным 0,7), критерия минимаксного риска Сэвиджа.

Задача 4. Свести позиционную игру к матричной и решить ее:
1-й ход делает игрок A : он выбирает число x из множества двух чисел {1,2}.
2 -й ход делает игрок B : зная выбранное игроком A число x , он выбирает число y из множества двух чисел {1,2}.
3-й ход делает игрок A : зная о выбранном игроком B числе y на 2-м ходе, но забыв выбранное им самим на 1-м ходе число x , он выбирает число z из множества двух чисел {1,2}.
После этого игрок A получает вознаграждение за счет игрока B :
W(1,1,1) = -4 , W(1,1,2) = 5, W(2,1,1) = 4 , W(2,1,2) = -4 , W(1,2,1) = 2 , W(2,2,1) = -4 , W(1,2,2) = 4 , W(2,2,2) = -6 .

"